Question

13．已知函數(shù)f（x）=3x²-6x-5．
（1）求f（x）在[0，3]上的最大值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為x=1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）在[0，3]上的最大值．
（2）根據(jù)g（x）的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{6-m}{2}$=3-$\frac{m}{2}$，分類討論求得它在區(qū)間[1，3]上的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3x²-6x-5的圖象的對稱軸為x=1，在[0，3]上，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-8，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為4，
（2）g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5 的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{6-m}{2}$=3-$\frac{m}{2}$，
當(dāng)3-$\frac{m}{2}$＜1，即m＞4時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為g（1）=m-10；
當(dāng)3-$\frac{m}{2}$＞3，即m＜0時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞件，故g（x）的最小值為g（3）=3m-14；
當(dāng)3-$\frac{m}{2}$∈[1，3]，即 m∈[0，4]時(shí)，g（x）的最小值為g（3-$\frac{m}{2}$）=$\frac{-20{-（m-6）}^{2}}{4}$=-$\frac{{m}^{2}-12m+56}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．