Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+7a-2，x＜1}\\{-a{x}^{2}-1，x≥1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x≥1和x＜1時(shí)，分別單調(diào)遞減，
即當(dāng)x≥1時(shí)，滿足-a＜0，即a＞0，
當(dāng)x＜1時(shí)，滿足2a-1＜0，即a＜$\frac{1}{2}$，
同時(shí)滿足2a-1+7a-2≥-a-1，
即10a≥2，得a≥$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
綜上$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a≥\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$），
故答案為：[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意端點(diǎn)處的函數(shù)值的關(guān)系．