Question

20．有5位同學(xué)相約參加某一電視娛樂節(jié)目，其中有2人已經(jīng)參加過，另外3人沒有參加過．
（1）從這些同學(xué)中隨機(jī)選出2人，求這兩位同學(xué)中至少有一位參加過此節(jié)目的概率．
（2）若參加此節(jié)目需要預(yù)選，參加過此節(jié)目的同學(xué)通過的概率為$\frac{1}{2}$，沒有參加過的同學(xué)通過預(yù)選的概率是$\frac{1}{3}$，記通過預(yù)選的人數(shù)為X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出兩人都沒有參加節(jié)目的概率，再由對立事件的概率公式能求出這兩位同學(xué)中至少有一位參加過此節(jié)目的概率．
（2）由題意得通過預(yù)選的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從這5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人，共有${C}_{5}^{2}$=10種情況，
從這5名同學(xué)中隨機(jī)選兩人，且兩人都沒有參加過此節(jié)目的情況有${C}_{3}^{2}$=3種，
∴這兩位同學(xué)中至少有一位參加過此節(jié)目的概率：
p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=0.7．
（2）由題意得通過預(yù)選的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4，5，
P（X=0）=$（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{108}$，
P（X=1）=（${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}+（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）$$（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{28}{108}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$+$（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）^{3}$$•\frac{1}{3}$=$\frac{38}{108}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{3}+{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}$$•{C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}$+$（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{25}{108}$，
P（X=4）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}+{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}$$•{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{8}{108}$，
P（X=5）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{108}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{108}$	$\frac{28}{108}$	$\frac{38}{108}$	$\frac{25}{108}$	$\frac{8}{108}$	$\frac{1}{108}$

∴EX=$0×\frac{8}{108}+1×\frac{28}{108}+2×\frac{38}{108}+3×\frac{25}{108}$+$4×\frac{8}{108}+5×\frac{1}{108}$=2．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．