Question

13．已知非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，求$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最大值．

Answer 1

分析 運(yùn)用柯西不等式，化簡(jiǎn)整理，即可得到最大值．

解答 解：由于非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，
由柯西不等式可得
（1•$\sqrt{3a+1}$+1•$\sqrt{3b+1}$+1•$\sqrt{3c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（3a+1+3b+1+3c+1），
即有$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤$\sqrt{3[3（a+b+c）+3]}$=3$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$，取得等號(hào)．
則$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最大值為3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．