Question

15．已知四邊形ABCD的對角線相交于一點(diǎn)，$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （0，4]
• C． [-2，0）
• D． [-4，0）

Answer 1

分析 根據(jù)向量的模的計(jì)算和向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到四邊形ABCD為對角線垂直且相等的四邊形，問題得以解決．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），
∴|$\overrightarrow{AC}$|=2，|$\overrightarrow{BD}$|=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=1×（-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$×1=0，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{2}$，
設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，OC=x，OD=y，則AO=2-x，BO=2-y；
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OD}$=x（x-2）+y（y-2）=（x-1）²+（y-1）²-2，（0＜x，y＜2）；
∴當(dāng)x=y=1時(shí)，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=-2為最小值，
當(dāng)x→0或1，y→0或1時(shí)，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$接近最大值0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍是[-2，0），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計(jì)算以及向量的夾角公式，屬于中檔題．