Question

16．函數(shù)f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1（x∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 顯然0不是函數(shù)f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1的零點(diǎn)，故化為函數(shù)y=4sin$\frac{πx}{2}$與y=x+$\frac{1}{x}$的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；作函數(shù)圖象求解即可．

解答 解：顯然0不是函數(shù)f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1的零點(diǎn)，
故f（x）=x²-4xsin$\frac{πx}{2}$+1=0可化為4sin$\frac{πx}{2}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
故可化為函數(shù)y=4sin$\frac{πx}{2}$與y=x+$\frac{1}{x}$的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
作函數(shù)y=4sin$\frac{πx}{2}$與y=x+$\frac{1}{x}$的圖象如下，

由圖象可知，有4個(gè)交點(diǎn)；
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根及函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生作圖與用圖的能力，屬于基礎(chǔ)題．