Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0），f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上有最小值，無(wú)最大值，則ω的值為4．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)，f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$ω=-1，即即ω=8k+4；再結(jié)合$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$＜$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，求得ω的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx，
由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)．
再根據(jù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上有最小值，可得f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$ω=-1，∴$\frac{π}{4}$ω=2kπ+π，k∈z，即ω=8k+4．
再根據(jù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上無(wú)最大值，$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$＜$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，求得ω＜12．
綜合可得ω=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．