Question

13．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{（x-y+6）（x+y-6）≥0}\\{1≤x≤4}\end{array}\right.$
（1）求x²+y²-2的取值范圍；
（2）求$\frac{y}{x-3}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩點間的距離公式的幾何意義進行求解．
（2）利用斜率的公式進行求解．

解答 解：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=x²+y²-2，d=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$
則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方減2，即z=d²-2．
由圖象知OB的距離最大，點O到直線x+y-6=0的距離OD最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=10}\end{array}\right.$，此時z=4²+10²-2=114．
點O到直線x+y-6=0的距離OD=$\frac{|-6|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，
此時z=d²-2=（3$\sqrt{2}$）²-2=18-2=16，
故16≤z≤114，
故x²+y²-2的取值范圍是[16，114]．
（2）設(shè)k=$\frac{y}{x-3}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點P（3，0）的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（1，5），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（4，2），
則PC的斜率k=$\frac{2}{4-3}=2$，PA的斜率k=$\frac{5}{1-3}$=$-\frac{5}{2}$，
則k≥2或k≤$-\frac{5}{2}$

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及兩點間的距離公式以及直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．