Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}定義如下：a₁=a，0≤a≤1，a_n+1=2（a_n-a_n²）（n∈N⁺）
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求a₄的值；
（2）試確定實(shí)數(shù)a的值，使得a₃=a₄成立；
（3）求證：當(dāng)0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$時(shí)，總有a_n+1＞a_n（n≥2，n∈N⁺）成立．

Answer 1

分析 （1）由a=$\frac{1}{2}$，結(jié)合數(shù)列遞推式依次求出a₂，a₃，a₄的值得答案；
（2）由a₃=a₄，結(jié)合遞推式求a₃，a₂，a₁得答案；
（3）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 （1）解：當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，${a}_{2}=2{a}_{1}（1-{a}_{1}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
同理可得${a}_{3}=2{a}_{2}（1-{a}_{2}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}（1-{a}_{3}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
（2）解：若a₃=a₄，由a₄=2a₃（1-a₃）=a₃，得a₃=0或${a}_{3}=\frac{1}{2}$．
①當(dāng)a₃=0時(shí)，由a₃=2a₂（1-a₂），可得a₂=0或a₂=1．
若a₂=0，則由a₂=2a₁（1-a₁）=0，得a₁=0或a₁=1；
若a₂=1，則由a₂=2a₁（1-a₁）=1，得$2{{a}_{1}}^{2}+2{a}_{1}+1=0$，a₁不存在．
②當(dāng)${a}_{3}=\frac{1}{2}$時(shí)，由a₃=2a₂（1-a₂），得${a}_{2}=\frac{1}{2}$，再由a₂=2a₁（1-a₁），得${a}_{1}=\frac{1}{2}$．
故當(dāng)a=0或1或$\frac{1}{2}$時(shí)，a₃=a₄．
（3）證明：∵0＜a₁＜1，且${a}_{1}≠\frac{1}{2}$，
∴$0＜{a}_{2}=2{a}_{1}（1-{a}_{1}）＜2×[\frac{{a}_{1}+（1-{a}_{1}）}{2}]^{2}=\frac{1}{2}$．
下面證明對(duì)一切n≥2，n∈N，$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$．
1°n=2時(shí)已證明結(jié)論的正確性；
2°設(shè)0$＜{a}_{k}＜\frac{1}{2}$（k≥2，k∈N），則
${a}_{k+1}=2{a}_{k}（1-{a}_{k}）=-2（{{a}_{k}}^{2}-{a}_{k}）$=$-2（{a}_{k}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$，
∵0$＜{a}_{k}＜\frac{1}{2}$，∴${a}_{k+1}=-2（{a}_{k}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}∈$（0，$\frac{1}{2}$）．
故對(duì)一切的n≥2，n∈N，都有$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n+1}=2{a}_{n}（1-{a}_{n}）＞2{a}_{n}（1-\frac{1}{2}）={a}_{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了歸納法證明數(shù)列不等式，其中滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．