Question

3．（1）已知x＞1，求f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$的最小值；
（2）已知0＜x＜$\frac{2}{5}$，求y=2x-5x²的最大值．

Answer 1

分析 （1）將x=x-1+1，由基本不等式，計算即可得到最小值3；
（2）y=2x-5x²=x（2-5x）=$\frac{1}{5}$•5x•（2-5x），運用基本不等式的變形，可得最大值為$\frac{1}{5}$．

解答 解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2+1=2+1=3．
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2時，等號成立．
∴f（x）的最小值為3；
（2）y=2x-5x²=x（2-5x）=$\frac{1}{5}$•5x•（2-5x），
∵0＜x＜$\frac{2}{5}$，∴5x＜2，2-5x＞0，
∴5x（2-5x）≤（$\frac{5x+2-5x}{2}$）²=1，
∴y≤$\frac{1}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)5x=2-5x，
即x=$\frac{1}{5}$時，y_max=$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和一正二定三等的條件，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．