Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值總大于函數(shù)f（x），試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，去掉絕對(duì)值，求得原絕對(duì)值不等式的解集．
（2）由條件利用基本不等式求得$g{（x）_{min}}=2\sqrt{a}-1$，f（x）∈[-3，1），再由$2\sqrt{a}-1≥1$，求得a的范圍．

解答 （1）解：當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為x-2-x-1＞1，此時(shí)不成立；
當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為2-x-x-1＞1，即-1≤x＜0，
當(dāng)x＜-1時(shí)，原不等式可化為2-x+x+1＞1，即x＜-1，
綜上，原不等式的解集是{x|x＜0}．
（2）解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，$g（x）=ax+\frac{1}{x}-1≥2\sqrt{a}-1$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{a}}}{a}$時(shí)“=”成立，
所以$g{（x）_{min}}=2\sqrt{a}-1$，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-2x，0＜x≤2\\-3，x＞2\end{array}\right.$，所以f（x）∈[-3，1），
∴$2\sqrt{a}-1≥1$，即a≥1為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．