Question

11．如圖，ABCD為等腰梯形，且AD∥BC，E為BC的中點，AB=AD=BE，沿DE將△CDE折起成四棱錐C-ABED．
（1）設(shè)點O為ED的中點，問在棱AC上是否存在一點M使得OM∥平面CBE，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=2，求四棱錐C-ABED體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）M為AC的中點，使得OM∥平面CBE，取CD中點N，連接OM，ON，MN，證明平面OMN∥平面CBE，可得OM∥平面CBE；
（2）由（1）知，OC⊥平面ABED時，四棱錐C-ABED體積最大．

解答 解：（1）M為AC的中點，使得OM∥平面CBE．
取CD中點N，連接OM，ON，MN，則ON∥CE，MN∥AD∥BE，
∵ON?平面CBE，CE?平面CBE，
∴ON∥平面CBE，
同理MN∥平面CBE，
∵ON∩MN=N，
∴平面OMN∥平面CBE，
∵OM?平面OMN，
∴OM∥平面CBE；
（2）由（1）知，OC⊥平面ABED時，四棱錐C-ABED體積最大，
此時，平面ABED是菱形，且∠ABE=60°，面積為2×2×sin60°=2$\sqrt{3}$，△CDE是等邊三角形，高為$\sqrt{3}$，
四棱錐C-ABED體積的最大值為$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐C-ABED體積的求法，正確運用線面平行的判定是關(guān)鍵．