Question

3．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD=PD=2MA．
（1）求證：平面EFG⊥平面PDC
（2）求證：FG∥平面PDA
（3）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

分析 （1）欲證平面EFG⊥平面PDC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面EFG內(nèi)一直線與平面PDC垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，滿足定理條件；
（2）證明GF∥AD，利用線面平行的判定定理，即可證明FG∥平面PDA；
（3）不妨設(shè)MA=1，求出PD=AD，得到V_p-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}，求出PD，根據(jù)DA⊥面MAB，所以DA即為點P到平面MAB的距離，根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積得到V _P-MAB：V _P-ABCD的比值．

解答 （1）證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD
又BC?平面ABCD，
因為四邊形ABCD為正方形，
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因為G、F分別是PB、PC中點，所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC；
（2）證明：因為GF∥BC，AD∥BC
所以GF∥AD，
因為GF?平面PDA，AD?平面PDA，
所以FG∥平面PDA
（3）解：因為PD⊥平面ABCD，
四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA=1，
則PD=AD=2，所以V_p-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PD=$\frac{8}{3}$
由于DA⊥面MAB，
所以DA即為點P到平面MAB的距離，
三棱錐V_P-MAB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×2=$\frac{2}{3}$，
所以V_P-MAB：V_P-ABCD=1：4

點評 本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查線面垂直、線面平行、面面垂直的判定及幾何體體積的計算，考查識圖能力和邏輯思維能力．