Question

8．已知函數(shù)f（x）=x${e}^{{x}^{2}-ax}$，x∈（0，+∞），其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a=3，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=ln[$\frac{1}{{x}^{2}}$f（x）]，若g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，求a的范圍；
（3）求證：當(dāng)n∈N，n＞1時，$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+$\frac{1}{ln4}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）a=3時，求出$f（x）=x{e}^{{x}^{2}-3x}$，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可得出f（x）的極大值和極小值點，即得出f（x）的極大值和極小值；
（2）寫出g（x）=ln$\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，可設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，從而看出g（x）是復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便知，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求h′（x），根據(jù)h′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的范圍即可；
（3）可以看出0＜ln2＜1，從而$\frac{1}{ln2}＞1$，并且$\frac{1}{ln3}，\frac{1}{ln4}，…，\frac{1}{lnn}＞0$，而不等式右邊$\frac{n-1}{n}＜1$，從而便可得出原不等式成立．

解答 解：（1）若a=3，f（x）=$x{e}^{{x}^{2}-3x}$，$f′（x）={e}^{{x}^{2}-3x}（2{x}^{2}-3x+1）$=${e}^{{x}^{2}-3x}（2x-1）（x-1）$；
∴$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，$\frac{1}{2}＜x＜1$時，f′（x）＜0，x＞1時，f′（x）＞0；
∴$x=\frac{1}{2}$時f（x）取到極大值$\frac{1}{2}{e}^{-\frac{5}{4}}$，x=1時，f（x）取到極小值e^-2；
即f（x）的極大值為$\frac{1}{2}{e}^{-\frac{5}{4}}$，極小值為e^-2；
（2）$g（x）=ln\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴$h′（x）=\frac{（2{x}^{2}-ax-1）{e}^{{x}^{2}-ax}}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴2x²-ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立；
設(shè)r（x）=2x²-ax-1，△=a²+8＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}＜1}\\{r（1）=1-a≥0}\end{array}\right.$；
解得a≤1；
∴a的取值范圍為：（-∞，1]；
（3）證明：1＜2＜e；
∴0＜ln2＜1；
∴$\frac{1}{ln2}＞1$；
∵$\frac{n-1}{n}＜1$，lnn＞0，n＞1；
∴$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{lnn}＞\frac{n-1}{n}$．

點評 考查函數(shù)極值的概念，以及根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法和過程，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要熟悉二次函數(shù)的圖象，并注意正確求導(dǎo)．