Question

13．（1）已知f（x）=2x+a，g（x）=$\frac{1}{4}$（x²+3）．若 g[f（x）]=x²+x+1．求a的值．
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]．求g（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定義域．

Answer 1

分析 （1）將g（x）中的x換上2x+a即可得出g[f（x）]=${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}+3}{4}$=x²+x+1，從而便可得出a=1；
（2）根據(jù)f（x）的定義域便知g（x）中的x滿足：$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$，根據(jù)m＞0即可解出該不等式組，從而便可得到g（x）的定義域．

解答 解：（1）$g[f（x）]=g（2x+a）=\frac{1}{4}$[（2x+a）²+3]=${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}+3}{4}={x}^{2}+x+1$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{\frac{{a}^{2}+3}{4}=1}\end{array}\right.$；
∴a=1；
（2）由f（x）的定義域得，要使g（x）有意義，則：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m≤x≤1-m}\\{m≤x≤1+m}\end{array}\right.$；
∵m＞0；
∴m≤x≤1-m；
∴g（x）的定義域為[m，1-m]．

點評 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，多項式相等時，對應項的系數(shù)相等，以及函數(shù)定義域的概念，已知f（x）定義域，求f[g（x）]定義域的方法．