Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以x軸非負(fù)半軸為始邊，其終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線與射線y=$\sqrt{3}$x（x≥0）交于點(diǎn)Q，其中α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{1}{3}$，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易得$∠POQ=\frac{π}{3}-α$，由三角函數(shù)的和差公式即可計(jì)算；
（Ⅱ）用坐標(biāo)表示出點(diǎn)P、Q，利用輔助角公式將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出數(shù)量積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα=$\frac{1}{3}$，$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
∴$cosα=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$α＜\frac{π}{3}$．
∵∠MOQ=$\frac{π}{3}$，且$α＜\frac{π}{3}$，
∴$∠POQ=\frac{π}{3}-α$，
∴cos∠POQ=$cos（\frac{π}{3}-α）$=$cos\frac{π}{3}cosα+sin\frac{π}{3}sinα$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$；
（Ⅱ）∵P（cosα，sinα），
∴Q（cosα，$\sqrt{3}cosα$）
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$co{s}^{2}α+\sqrt{3}sinα•cosα$=$\frac{1}{2}cos2α+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α+\frac{1}{2}$=$sin（2α+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
∴$-\frac{5π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
所以，當(dāng)$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{6}$時(shí)，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$取最大值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和差公式的應(yīng)用，以及向量數(shù)量積的計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．