Question

1．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）

Answer 1

分析 根據(jù)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數(shù)f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據(jù)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答 解：因?yàn)?f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1），
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x），
f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
圖象為開口向下，頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線，
∵函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三個(gè)交點(diǎn)，
∵f（x）≤0，
∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三個(gè)交點(diǎn)，
如圖要求g（2）＞f（2），可得：

就必須有 log_a（2+2）＞f（2）=-2，
∴可得log_a4＞-2，∴解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$又a＞0，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，這也是高考�？嫉臒狳c(diǎn)問題，此題是一道中檔題．