Question

12．在四面體P-ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°則該四面體P-ABC的外接球的表面積為3π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 解：由題意，以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長方體的對角線長為$\sqrt{3}$，
∴球直徑為$\sqrt{3}$，半徑R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的表面積是4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=3π
故答案為：3π．

點(diǎn)評 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求它的外接球的表面積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．