Question

3．設二次函數(shù)f（x）=x²+mx+p在點（2，f（2））處的切線方程為3x-y-2=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用數(shù)學歸納法證明：$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$對一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為3x-y-2=0．可得切線的斜率k=3，切點為（2，4）．利用f′（2）=4+m=3，f（2）=4，即可得出．

（2）f′（x）=2x-1，可得$\frac{1}{\sqrt{{f}^{′}（n）}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$．要證明$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$對一切n∈N^*恒成立．即證明：$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$$≤\sqrt{2n-1}$．
利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 （1）解：∵二次函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為3x-y-2=0．
∴切線的斜率k=3，切點為（2，4）．
f′（x）=2x+m，∴f′（2）=4+m=3，解得m=-1．
又f（2）=4-2+p=4，解得p=2．
∴f（x）=x²-x+2．
（2）證明：∵f′（x）=2x-1，
∴$\frac{1}{\sqrt{{f}^{′}（n）}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$．
證明$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$對一切n∈N^*恒成立．
即證明：$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$$≤\sqrt{2n-1}$．
下面利用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，左邊=1=右邊，成立；
②假設當n=k（k∈N^*）時，$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$$≤\sqrt{2k-1}$．
則當n=k+1時，左邊=$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$$≤\sqrt{2k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$＜$\sqrt{2k-1}$+$\frac{2}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}$=$\sqrt{2k-1}$+$（\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}）$=$\sqrt{2k+1}$．
∴當n=k+1時，結論成立．
綜上可得：對一切n∈N^*，$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$$≤\sqrt{2n-1}$恒成立．
即$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$對一切n∈N^*恒成立．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究切線方程、數(shù)學歸納法的應用，考查了猜想歸納推理能力與計算能力，屬于中檔題．