Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥a（x-1）（x≥1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=lnx+1，從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性，
（2）原不等式可化為xlnx≥a（x-1），從而討論x=1與x＞1時(shí)不等式成立的條件即可．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴當(dāng)x∈（0，e^-1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（e^-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）在（0，e^-1）上是減函數(shù)，在（e^-1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）f（x）≥a（x-1）（x≥1）可化為
xlnx≥a（x-1），
當(dāng)x=1時(shí)，0≥0，顯然成立；
當(dāng)x＞1時(shí)，不等式可化為a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-1，h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
故h（x）=x-lnx-1在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故x-lnx-1＞1-0-1=0，
故g′（x）=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$＞0；
故g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上是增函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{xlnx}{x-1}$=1，
故a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了極限的求法．