Question

1．已知x，y，z＞0，且3^x=4^y=6^z
（1）證明：2xy=2yx+xz
（2）能否確定3x，4y與6z的大��？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由x，y，z＞0，且3^x=4^y=6^z=k＞0，可得$x=\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{2lg2}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$．代入分別計(jì)算即可得出；
（2）由（1）可得3x=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，4y=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，6z=$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，由于lgk＞0，$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$$＞\root{6}{8}$=$\sqrt{2}$$＞\root{6}{6}$＞1，即可得出大小關(guān)系．

解答 （1）證明：∵x，y，z＞0，且3^x=4^y=6^z=k＞1，
∴$x=\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{2lg2}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$．
∴2xy=2×$\frac{l{g}^{2}k}{2lg2lg3}$=$\frac{l{g}^{2}k}{lg2lg3}$，2yz+xz=$2×\frac{l{g}^{2}k}{2lg2lg6}+\frac{l{g}^{2}k}{lg3lg6}$=$\frac{l{g}^{2}k（lg3+lg2）}{lg2lg3lg6}$=$\frac{l{g}^{2}k}{lg2lg3}$，
∴2xy=2yx+xz．
（2）解：可得：3x＜4y＜6z．
下面給出證明：
由（1）可得3x=$\frac{3lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，4y=$\frac{2lgk}{lg2}$=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，6z=$\frac{6lgk}{lg6}$=$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，
∵lgk＞0，$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$$＞\root{6}{8}$=$\sqrt{2}$$＞\root{6}{6}$＞1，
∴$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$＜$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$＜$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，
∴3x＜4y＜6z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．