Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x∈[-2，2]}\\{1+{x}^{2}，x∈（2，4]}\end{array}\right.$，若${∫}_{k}^{3}$f（x）dx=$\frac{40}{3}$，則k的值為（　　）

• A． 0
• B． 0或-1
• C． 0或1
• D． -1

Answer 1

分析 根據(jù)積分計算公式，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再根據(jù)微積分基本定理加以計算，即可得到本題答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x∈[-2，2]}\\{1+{x}^{2}，x∈[2，4]}\end{array}\right.$，
當(dāng)k≥2時，${∫}_{k}^{3}$f（x）dx=${∫}_{k}^{3}$（1+x²）dx=（x+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{k}^{3}$=3+9-k-$\frac{1}{3}$k³=$\frac{40}{3}$，解得k=1，故舍去，
當(dāng)-2＜k＜2時，則${∫}_{k}^{3}$f（x）dx=${∫}_{2}^{3}$（1+x²）dx+${∫}_{k}^{2}$（2x+1）=（x+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{2}^{3}$+（x²+x）|${\;}_{k}^{2}$=3+9-2-$\frac{8}{3}$+4+2-k²-k=$\frac{40}{3}$，解得k=0或k=-1．
故選：B．

點評 本題求一個函數(shù)的原函數(shù)并求定積分值，考查定積分的運算和微積分基本定理等知識，屬于基礎(chǔ)題．