Question

18．已知函數(shù)y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$（0＜a＜1），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域．

Answer 1

分析 設(shè)t=x²-4x+1，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=x²-4x+1，則t=（x-2）²-3，
對(duì)稱軸為x=2，
∵0＜a＜1，
∴y=a^t為減函數(shù)，
當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)t=x²-4x+1為增函數(shù)，
∵y=a^t為減函數(shù)，∴y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$為減函數(shù)，即單調(diào)遞減區(qū)間為[2，+∞），
當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)t=x²-4x+1為減函數(shù)，
∵y=a^t為減函數(shù)，∴y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$為增函數(shù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2]．
∵t=（x-2）²-3≥-3，
∴y=a^t≤a^-3，
∵y=a^t＞0，
∴0＜y≤a^-3，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?，a^-3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．