Question

10．已知如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求證：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求三棱錐D-PAC的體積；
（3）求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出AB⊥BC，PB⊥BC，由此能證明平面PAD⊥平面PAB．
（2）以A為原點(diǎn)，以平面ABP內(nèi)過點(diǎn)A作AB的垂線為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由V_D-PAC=V_P-ADC，利用等積法能求出三棱錐D-PAC的體積．
（3）求出$\overrightarrow{PC}$和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，∴AB⊥BC，
∵∠PBC=90°，∵PB⊥BC，
∵AB∩PB=B，∴BC⊥平面PAB，
∵AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．
（2）解：以A為原點(diǎn)，以平面ABP內(nèi)過點(diǎn)A作AB的垂線為x軸，AB為y軸，AD為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0$），平面ADC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
P到平面ADC的距離h=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△ADC=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱錐D-PAC的體積：
V_D-PAC=V_P-ADC=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ADC}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）解：P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），C（0，2，1），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$，1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)直線PC與平面ABCD所成角的為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{PC}|}$|=|$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{25}{4}+1}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}$．
∴直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．