Question

9．設函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，設函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤0；
（Ⅲ）求證：對任意的正整數(shù)n，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，可得其導函數(shù)大于等于0恒成立，由此求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由導數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值g（a）=a-alna-1，然后利用導數(shù)求出函數(shù)g（a）的最大值得答案；
（Ⅲ）直接利用放縮法，由2kⁿ⁺¹＜（k+1）ⁿ⁺¹（k=1，2，3，…n）證明數(shù)列不等式．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，
∵函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=e^x-a≥0對任意x∈R恒成立，即a≤e^x恒成立，
∵e^x＞0，
∴a≤0，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（Ⅱ）證明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴當x=lna時，$f（x）_{min}=f（lna）={e}^{lna}-alna-1$=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
則g′（a）=-lna．
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0；
（Ⅲ）證明：由2kⁿ⁺¹＜（k+1）ⁿ⁺¹（k=1，2，3，…n），
得kⁿ⁺¹＜（k+1）ⁿ⁺¹-kⁿ⁺¹，
∴1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜2ⁿ⁺¹-1ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+…+（n+1）ⁿ⁺¹-nⁿ⁺¹
=（n+1）ⁿ⁺¹-1＜（n+1）ⁿ⁺¹．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，考查不等式恒成立時所取的條件，訓練了放縮法法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．