Question

14．橢圓C₁和拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點都在坐標(biāo)原點O，點F是橢圓C₁的右焦點，點M位于x軸上方且在拋物線C₂的準(zhǔn)線上，已知曲線C₁：C₂上各有兩點，其坐標(biāo)關(guān)系如下表：

x	-4	-1	-$\frac{1}{2}$	0
y	-8	$\frac{3}{2}$	2$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$

（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求以線段OM為直徑且被直線5x+12y-9=0截得的弦長為4的圓C的方程；
（Ⅲ）過點F斜率為k（k≠0）的直線l與C₁交于P、Q兩點，與圓C交于A、B兩點．問：是否存在直線l，使得線段PQ與線段AB有相同的中點？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），拋物線方程為y²=mx，分析可得點（0，$\sqrt{3}$）和（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，點（-4，-8），（-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$）在拋物線上，代入方程即可得到所求；
（Ⅱ）由于拋物線的準(zhǔn)線為x=4，設(shè)M（4，t）（t＞0），求得以O(shè)M為直徑的圓的方程，運用點到直線的距離公式和弦長公式，計算可得t=2，即可得到圓C方程；
（Ⅲ）假設(shè)存在直線l，使得線段PQ與線段AB有相同的中點．設(shè)直線l：y=k（x-1），分別代入橢圓方程和圓方程，運用韋達定理，再由中點坐標(biāo)公式，可得$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+k+2}{1+{k}^{2}}$，令f（x）=4x³+7x²+3x+6，運用零點存在定理可得f（k）=0有一個根介于-2和-1之間，即可判斷存在這樣的直線．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），拋物線方程為y²=mx，
則點（0，$\sqrt{3}$）在橢圓上，即有b=$\sqrt{3}$，
由于m=$\frac{{y}^{2}}{x}$，可得點（-4，-8），（-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$）在拋物線上，
即有m=-16，
則點（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，代入橢圓方程得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4×3}$=1，
解得a=2，
則有C₁為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，C₂的方程為y²=-16x；
（Ⅱ）由于拋物線的準(zhǔn)線為x=4，設(shè)M（4，t）（t＞0），
以線段OM為直徑的圓的方程為（x-2）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=4+$\frac{{t}^{2}}{4}$，
圓心（2，$\frac{t}{2}$）到直線5x+12y-9=0的距離為d=$\frac{|10+6t-9|}{13}$=$\frac{|6t+1|}{13}$，
則有弦長公式可得4=2$\sqrt{4+\frac{{t}^{2}}{4}-\frac{（6t+1）^{2}}{169}}$，
解得t=2（負(fù)值舍去），
即有圓C：（x-2）²+（y-1）²=5；
（Ⅲ）假設(shè)存在直線l，使得線段PQ與線段AB有相同的中點．
設(shè)直線l：y=k（x-1），代入橢圓的方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由于F在橢圓內(nèi)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
將直線y=k（x-1）代入（x-2）²+（y-1）²=5，可得
（1+k²）x²-（2k²+4+2k）x+k²+2k=0，
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
則有（2k²+4+2k）²-4（1+k²）（k²+2k）＞0，
即為2k²+k+2＞0，由判別式1-16＜0，解得k∈R．
x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+2k+4}{1+{k}^{2}}$，
由中點坐標(biāo)公式可得，$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+k+2}{1+{k}^{2}}$，
即有4k³+7k²+3k+6=0，
令f（x）=4x³+7x²+3x+6，
由于f（-1）=-4+7-3+6＞0，f（-2）=-32+28-6+6＜0，
即f（-1）f（-2）＜0，
由零點存在定理可得，f（x）在（-2，-1）間至少存在一個零點．
故方程4k³+7k²+3k+6=0，至少有一個實根．
則存在直線l，使得線段PQ與線段AB有相同的中點．

點評 本題考查橢圓和拋物線的方程和性質(zhì)，同時考查直線和圓的位置關(guān)系及弦長公式，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程運用韋達定理，考查運算化簡能力，屬于中檔題和易錯題．