Question

2．證明y=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在[0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{1{{+x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{1{{+x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{{{x}_{2}}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}{（1{{+x}_{1}}^{2}）（1{{+x}_{2}}^{2}）}$
=$\frac{{{（x}_{2}+x}_{1}）{（x}_{2}{-x}_{1}）}{（1{{+x}_{1}}^{2}）（1{{+x}_{2}}^{2}）}$，
因?yàn)?≤x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞0，（1+${{x}_{1}}^{2}$）（1+${{x}_{2}}^{2}$）＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)y=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$在x∈[0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性定義來證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．