Question

10．已知函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m＜0，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，則m的取值范圍是（$-\frac{4}{3}$，0）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3mx²-6（m+1）x+（3m+6），
且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）＞3m，
即mx²-2（m+1）x+2＞0，在x∈[-1，1]上恒成立，
設(shè)g（x）=mx²-2（m+1）x+2，（m＜0）
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3m+4＞0}\\{-m＞0}\end{array}\right.$，
解得$-\frac{4}{3}$＜m＜0，
故m的取值范圍是（$-\frac{4}{3}$，0），
故答案為：（$-\frac{4}{3}$，0）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．