Question

16．已知函數(shù)f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2x，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值；
（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求得單調(diào)區(qū)間，計(jì)算即可得到最小值；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）由題意化簡可得ax+1-a＞0在[-1，3]上恒成立，構(gòu)造一次函數(shù)，由單調(diào)性可得不等式組，即可求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-2x²+1-2x的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
在[-1，-$\frac{1}{2}$）遞增，在（-$\frac{1}{2}$，3]遞減，
可得f（-$\frac{1}{2}$）最大，f（3）最小，且為-23；
（2）證明：當(dāng)a≤1時(shí)，設(shè)1≤m＜n，
則f（m）-f（n）=-2m²+（a+3）m+1-2m-[-2n²+（a+3）n+1-2n]
=（m-n）（a+1-2m-2n），
由a≤1時(shí)，且1≤m＜n，可得m-n＜0，a+1≤2，-2（m+n）≤-4，
即有a+1-2m-2n＜0，則f（m）-f（n）＞0，
故有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象上方，
即為f（x）＞g（x），即ax+1-a＞0在[-1，3]上恒成立，
設(shè)h（a）=ax+1-a，即有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＞0}\\{1+2a＞0}\end{array}\right.$解得a＞$\frac{1}{2}$．
則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，注意運(yùn)用定義，同時(shí)考查不等式恒成立問題，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．