Question

如四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD//BC，CB⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，BC=1，DA=AB=2BC，F(xiàn)是線段AB的中點。

  

（1）求證：DF⊥PF；

（2）求PC與平面PDF所成的角。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（1）證明：∵CB⊥側(cè)面PAB，PF平面PAB，∴PF⊥BC，

   又∵△PAB是等邊三角形，F(xiàn)是線段AB的中點，∴PF⊥AB，

   ∴PF⊥平面ABCD，

    而DF平面ABCD，∴DF⊥PF�！�…………………5分

（2）方法一：

    作CH⊥DF，垂足為H，連接PH，

   由（1）知：PF⊥平面ABCD。

   ∴平面PDF⊥平面CDF，

∴CH⊥平面PDF，

∴PH是PC在平面PDF上的射影，

∴∠CPH是PC與平面PDF所成的角。

∵CB⊥側(cè)面PAB，AD//BC，DA⊥側(cè)面PAB，

∴△DAF，△BFC，△PBC都是直角三角形，

 BC=1，則DA=AB=2，AF=FB=1，

在三角形DFC中，DF=

可求得

∴直角三角形PHC中，

∴PC與平面PDF所成的角為……………………12分

方法二：

如圖，以F為原點，建立空間直角坐標(biāo)系。

 

BC=1，則DA=AB=2，AF=FB=1，PF=

從而C（1，1，0）、D（2，－1，0）、P（0，0）

設(shè)為平面PDF的法向量，由

，可求得

設(shè)PC與平面PDF所成的角為

∴PC與平面PDF所成的角為   ……………………12分