Question

（2013•南京二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，PB⊥平面ABCD，CD⊥BD，PB=AB=AD=1，點E在線段PA上，且滿足PE=2EA．
（1）求三棱錐E-BAD的體積；
（2）求證：PC∥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）先作垂線，求棱錐的高，再根據(jù)體積公式求棱錐的體積；
（2）根據(jù)在三角形中分相鄰兩邊等比例的線段平行于底邊，證線線平行，再由線線平行證明線面平行．

解答：解：（1）過E作EF⊥AB，垂足為F，
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD=AB，EF?平面PAB，
∴EF⊥平面ABCD，即EF為三棱錐E-BAD的高，
∵EF∥PB，PE=2EA，PB=1，∴EF=

1

3

，
∵CD⊥BD，梯形ABCD為直角梯形，∴∠A=90°，
∵AB=AD=1，∴V_E-BAD=

1

3

×S_△BAD×EF=

1

18

．
（2）證明：連接AC交BD與G，連接EG，
∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=

2

，∠CBD=45°，
∵CD⊥BD，∴BC=2，
∵AD∥BC，BC=2，AD=1，∴

AG

GC

=

1

2

，
∵PE=2EA，∴EG∥PC，
又PC?平面BDE，EG?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．

點評：本題考查線面平行的判定及棱錐的體積．