Question

（2011•武昌區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC=2AB=2PA．點(diǎn)M在側(cè)棱PC上，且CM=2MP．
（I）求直線AM與平面PCD所成角的正弦值；
（II）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）要求直線AM與平面PCD所成角的正弦值則根據(jù)線面角的定義可知需過(guò)A向面PCD作垂線找到AM在面PCD上的射影則其與射影的夾角即為直線AM與平面PCD所成的角而根據(jù)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD可得CD⊥面PAD因此只需過(guò)A作AN⊥PD于N，連接MN可得AN⊥面PCD即∠AMN為直線AM與平面PCD所成的角然后再解RT△PAD求出∠AMN的正弦值即可．
（2）可過(guò)B作BE⊥平面PCD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PC于F，連接EF，則根據(jù)三垂線定理可得EF⊥PC則根據(jù)二面角的定義再結(jié)合圖形的特征可知∠BFE為二面角B-PC-D的平面角的補(bǔ)角然后在解三角形BFE求出∠BFE即可得解．

解答：（本小題滿分12分）
解：設(shè)BC=2AB=2PA=2．
（Ⅰ）過(guò)A作AN⊥PD于N，連接MN．
∵側(cè)棱PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD．
∴CD⊥AN．
∴AN⊥面PCD．
則∠AMN為直線AM與平面PCD所成的角． …（3分）
在△PAM中，AM=

PA2+PM2-2PA•PM•cos∠APM

=1．
在RT△PAD中，求得AN=

2

5

．∴sin∠AMN=

AN

AM

=

2 5

5

．…（6分）
（Ⅱ）過(guò)B作BE⊥平面PCD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PC于F．
連接EF，則EF⊥PC．
∴∠BFE為二面角B-PC-D的平面角的補(bǔ)角． …（8分）
在RT△PBC中，求得BF=

2

3

．
由V_P-BCD=V_D-PAC，得

1

3

•

1

2

•1•

5

•BE=

1

3

•

1

2

•2•1•1，
解得BE=

2

5

．…（10分）
在RT△AEF中，求得sin∠BFE=

BE

BF

=

15

5

．
所以所求二面角的大小為π-arcsin

15

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了線面角和二面角的求解，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是要熟記線面角和二面角的定義因?yàn)樗�是正確做出線面角和二面角的依據(jù)這不僅需要對(duì)立體幾何中常用的判定定理和性質(zhì)定理透徹理解而且要掌握一些解題技巧（比如本題第二問(wèn)利用V_P-BCD=V_D-PAC求出BE的長(zhǎng)度）這需要在做題中慢慢理解和積累！