Question

8．已知O、A、B、C是平面內(nèi)四點(diǎn)，$\overrightarrow{OC}={sin^2}α\;\;\overrightarrow{OA}+{cos^2}α\;\overrightarrow{OB}$，α是銳角．
（1）證明：C在線(xiàn)段AB上；
（2）若α=45°，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，求$|\overrightarrow{OC}|$．

Answer 1

分析 （1）利用sin²α+cos²α=1，$\overrightarrow{OC}={sin^2}α\;\;\overrightarrow{OA}+{cos^2}α\;\overrightarrow{OB}$，即可證明C在線(xiàn)段AB上；
（2）由題意，C是AB的中點(diǎn)，由$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，可得OA⊥OB，即可求$|\overrightarrow{OC}|$．

解答 （1）證明：∵sin²α+cos²α=1，$\overrightarrow{OC}={sin^2}α\;\;\overrightarrow{OA}+{cos^2}α\;\overrightarrow{OB}$，
∴A、B、C共線(xiàn)，且C在線(xiàn)段AB上；
（2）解：由題意，C是AB的中點(diǎn)，
∵$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，
∴OA⊥OB，
∴$|\overrightarrow{OC}|$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用向量的運(yùn)算是關(guān)鍵．