Question

18．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁中點，則下列結論中不正確的是（　�。�

• A． BD⊥A₁C₁
• B． AC₁∥平面BDE
• C． 平面BDE∥平面AB₁D₁
• D． 平面A₁BD⊥平面BDE

Answer 1

分析 在A中：由BD⊥AC，得BD⊥A₁C₁；在B中：連結AC、BD，交于點O，連結OE，則OE∥AC₁，從而AC₁∥平面BDE；在C中，平面BDE與平面AB₁D₁相交；在D中，∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，由勾股定理得∠A₁OE=90°，從而平面A₁BD⊥平面BDE．

解答 解：由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁中點，知：
在A中：∵BD⊥AC，AC∥A₁C₁，∴BD⊥A₁C₁，故A正確；
在B中：連結AC、BD，交于點O，連結OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中點，
∵E為CC₁中點，∴OE∥AC₁，
∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE，故B正確；
在C中：∵AB₁∥BC₁，BC₁∩BE=B，AD₁∥DC₁，DC₁∩DE=D，
AB₁、AD₁?平面AB₁D₁，BC₁、DC₁?平面BDE，
∴平面BDE與平面AB₁D₁相交，故C錯誤；
在D中：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
連結A₁D、A₁B、A₁O、A₁E，則${A}_{1}D={A}_{1}B=2\sqrt{2}$，OA₁=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
$DE=BE=\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，OE=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，A₁E=$\sqrt{8+1}$=3，
∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，
∵${A}_{1}{O}^{2}+O{E}^{2}$=6+3=9=${A}_{1}{E}^{2}$，
∴∠A₁OE=90°，
∴平面A₁BD⊥平面BDE，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．