Question

5．若曲線f（x）=xlnx+2m上點P處的切線方程為x-y=0．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若過點Q（1，t）存在兩條直線與曲線y=f（x）相切，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，可得m；
（2）設(shè)切點為（u，v），求得切線的斜率，求得切線的方程，代入Q，可得t-ulnu-1=（1+lnu）（1-u），即為t-2=lnu-u，在（0，+∞）有兩解，運用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到t的范圍．

解答 解：（1）f（x）=xlnx+2m的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，
點P（n，n）處的切線斜率為1+lnn=1，可得n=1，
即切點為（1，1），
則1=2m，解得m=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=xlnx+1，
設(shè)切點為（u，v），則切線的斜率為f′（u）=1+lnu，
即有切線的方程為y-ulnu-1=（1+lnu）（x-u），
代入點Q（1，t），
即有t-ulnu-1=（1+lnu）（1-u），
即為t-2=lnu-u，在（0，+∞）有兩解，
由g（u）=lnu-u的導(dǎo)數(shù)為g′（u）=$\frac{1}{u}$-1，
可得u＞1，g（u）遞減，0＜u＜1，g（u）遞增．
可得u=1，取得最大值g（1）=-1，
即有t-2＜-1，
解得t＜1．
故實數(shù)t的取值范圍時（-∞，1）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，以及運算能力，屬于中檔題．