Question

13．設(shè)x，y∈（1，e）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則$\frac{lnx•lny（1-lnxy）}{（1-lnx）（1-lny）lnxy}$的最大值為（　　）

• A． 8
• B． $\frac{1}{8}$
• C． 4
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)lnxlny=a，lnx+lny=b，原等式轉(zhuǎn)化為$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$≤$\frac{1}{\frac{4}+\frac{1}{1-b}-1}$，求出$\frac{4}$+$\frac{1}{1-b}$的最小值即可．

解答 解：設(shè)lnxlny=a，lnx+lny=b，由題意知a∈（0，1），b∈（0，2）且b≥2$\sqrt{a}$，
∴$\frac{lnx•lny（1-lnxy）}{（1-lnx）（1-lny）lnxy}$=$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$，顯然當b∈（0.1）時，才可能取得最大值，
∴$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$=$\frac{1}{（\frac{1}{a}+\frac{1}{1-b}）b}$≤$\frac{1}{（\frac{4}{^{2}}+\frac{1}{1-b}）b}$=$\frac{1}{\frac{4}+\frac{1}{1-b}-1}$，
∵$\frac{4}$+$\frac{1}{1-b}$=（b+1-b）（$\frac{4}$+$\frac{1}{1-b}$）=5+$\frac{4（1-b）}$+$\frac{1-b}$≥5+4=9，
∴$\frac{a（1-b）}{b（1-b+a）}$≤$\frac{1}{9-1}$=$\frac{1}{8}$，當且僅當b=2$\sqrt{a}$，即x=y，且b=2（1-b）即lnx+lny=$\frac{2}{3}$時取等號，即x=y=${e}^{\frac{1}{3}}$時取等號，
故最大值為$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是巧換元，構(gòu)造基本不等式，屬于中檔題．