Question

6．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）討論a=0時(shí)與a≠0時(shí)的奇偶性，然后定義定義進(jìn)行證明即可；
（2）討論當(dāng)a≤0和a＞0時(shí)，求出函數(shù)f（x）=x|x-a|的表達(dá)式，即可求出在區(qū)間[0，1]上的最大值．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．
當(dāng)a=0時(shí)f（x）=x|x-a|=x|x|，為奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此時(shí)函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）若a≤0，則函數(shù)f（x）=x|x-a|在0≤x≤1上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=|1-a|=1-a，
若a＞0，由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
由于a＞0且0≤x≤1，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，
由${x}^{2}-ax=\frac{{a}^{2}}{4}，即x=（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
當(dāng)$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=a-1；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜1＜（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
即$2（\sqrt{2}-1）≤a＜2$時(shí)，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上遞增，在[$\frac{a}{2}$，a]上遞減，
∴f（x）的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當(dāng)$（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a＜1$，即$0＜a＜2（\sqrt{2}-1）$時(shí)，
f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上遞增，在[$\frac{a}{2}$，a]上遞減，在[a，1]上遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=1-a．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及分段函數(shù)的最值的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．