Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{{a}^{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{2}{7}$，1]

Answer 1

分析 由已知條件，根據(jù)減函數(shù)的定義便知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，從而根據(jù)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，及減函數(shù)的定義有$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{{a}^{1-1}≤（3a-1）•1+4a}\end{array}\right.$，從而解該不等式組即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件知，f（x）在R內(nèi)是減函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{{a}^{1-1}≤（3a-1）•1+4a}\end{array}\right.$；
解得$\frac{2}{7}≤a＜\frac{1}{3}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[\frac{2}{7}，\frac{1}{3}）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查減函數(shù)的定義，一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．