Question

5．已知△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求證：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 利用分析法的證明步驟，找出使等式成立的充分條件，即可證明等式成立．

解答 證明：要證 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$   只需證：$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，…（3分）
只需證：c（b+c）+a（a+b）=（a+b） （b+c），…（5分）
即證：c²+a²=ac+b²，…（7分）
因?yàn)椤鰽BC中，角A、B、C成等差數(shù)列，所以B=60°，…（9分）
由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB得   b²=c²+a²-ca
所以c²+a²=ac+b²，…（12分）
因此 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析法的應(yīng)用，等差數(shù)列以及余弦定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．