Question

3．如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m對(duì)應(yīng)的數(shù)就是n，記作f（m）=n．

下列說法中正確命題的序號(hào)是①③④．（填出所有正確命題的序號(hào)）
①f（$\frac{1}{4}$）=-1；                       
②f（x）是奇函數(shù)；
③f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)；        
④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）對(duì)稱．

Answer 1

分析 借助于圖形來看四個(gè)選項(xiàng)，先利用f（$\frac{1}{4}$）=-1，判斷出①正確；在有實(shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知②錯(cuò)；從圖形上可得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，③對(duì)；先找到f（$\frac{1}{2}$）=0，再利用圖形判斷④對(duì)．

解答 解：如圖，因?yàn)镸在以（1，1-$\frac{1}{2π}$）為圓心，$\frac{1}{2π}$為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
對(duì)于①當(dāng)m=$\frac{1}{4}$時(shí)．M的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2π}$，1-$\frac{1}{2π}$），直線AM方程y=x+1，
所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（$\frac{1}{4}$）=-1，即①正確．
對(duì)于②，因?yàn)閷?shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以f（x）不存在奇偶性．故②錯(cuò)．
對(duì)于③，當(dāng)實(shí)數(shù)m越來越大時(shí)，
如圖直線AM與x軸的交點(diǎn)N（n，0）也越來越往右，
即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增，即③對(duì)．
對(duì)于④當(dāng)實(shí)數(shù)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)A的正下方，
此時(shí)點(diǎn)N（0，0），所以f（$\frac{1}{2}$）=0，
再由圖形可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）對(duì)稱，即④對(duì)．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了在新定義的條件下解決函數(shù)問題，是一道很好的題．關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會(huì)用定義來解題．