Question

11．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ≤0）為R上的偶函數(shù)，且圖象中相鄰對稱軸與對稱中心的距離為π
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的對稱軸方程及對稱中心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）函數(shù)是偶函數(shù)，求出ϕ，利用圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為π，求出ω，即可求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）由$\frac{1}{2}$x=kπ，k∈Z可解得f（x）的對稱軸方程；由$\frac{1}{2}$x=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的對稱中心坐標(biāo)．

解答 解：（I）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
即2sinωxcosφ=0恒成立，
∴cosφ=0，
又∵0≤φ≤π，∴φ=$\frac{π}{2}$．（3分）
又圖象中相鄰對稱軸與對稱中心的距離為π，
∴T=4π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{1}{2}$x．（6分）
（Ⅱ）由$\frac{1}{2}$x=kπ，k∈Z可解得f（x）的對稱軸方程為：x=2kπ，k∈Z；
由$\frac{1}{2}$x=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的對稱中心坐標(biāo)為：（2kπ+π，0），k∈Z（10分）

點評 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及計算能力，屬于中檔題．