Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+2cosx，x∈R，則不等式f（2x-1）≤f（1）的解集為[0，1]．．

Answer 1

分析 運用奇偶性的定義判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求出當(dāng)x≥0時，f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷x與sinx的大小，得到f（x）在[0，+∞）遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f（|x|），不等式f（2x-1）≤f（1）即為f（|2x-1|）≤f（1），即有|2x-1|≤1，再由絕對值不等式的解集，即可得到．

解答 解：由于f（-x）=（-x）²+2cos（-x）=x²+2cosx，
則f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx），
令g（x）=x-sinx，x≥0，
g′（x）=1-cosx≥0，g（x）在[0，+∞）遞增，即有g(shù)（x）≥g（0）=0，
則當(dāng)x≥0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）遞增，
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f（|x|），
不等式f（2x-1）≤f（1）即為f（|2x-1|）≤f（1），
即有|2x-1|≤1，
即-1≤2x-1≤1，
解得0≤x≤1，
則解集為[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運用：解不等式，同時考查運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，注意運用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．