Question

9．若x₀是方程（$\frac{1}{2}$）^x=x${\;}^{\frac{1}{3}}$的解，則x₀屬于區(qū)間（0，1）．

Answer 1

分析 由題意設f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x${\;}^{\frac{1}{3}}$，將方程的根轉化為函數(shù)f（x）的零點，再判斷出f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)零點存在性判斷定理可得x₀屬于區(qū)間．

解答 解：由題意設f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x${\;}^{\frac{1}{3}}$，
則方程（$\frac{1}{2}$）^x=x${\;}^{\frac{1}{3}}$的解x₀是函數(shù)f（x）的零點，
∵函數(shù)f（x）是定義域上的減函數(shù)，且f（0）=1＞0、f（1）=$-\frac{1}{2}$＜0，
∴函數(shù)f（x）的零點x₀∈（0，1），
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查方程的根與對應函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)零點存在性判斷定理，屬于基礎題．