Question

10．圓心為O，半徑為4的圓上兩弦AB與CD垂直相交于點P，且|PO|=2，則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$|=4．

Answer 1

分析 如圖所示，過點O分別作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別M，N，根據(jù)垂經(jīng)定理可得：M，N分別為弦AB，CD的中點．于是$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PM}$．同理可得：$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PN}$，代入即可得出．

解答 解：如圖所示，
過點O分別作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別M，N，則M，N分別為弦AB，CD的中點．
則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PM}$．
同理可得：$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PN}$，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$|=|2$\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{PN}$|=2$|\overrightarrow{PO}|$=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線定理、向量的模，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．