Question

8．已知拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點求得c，根據(jù)AF⊥x軸，可判斷出|AF|的值和A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，求得離心率e．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點（1，0）和雙曲線的焦點相同，
∴c=1，
∵A是它們的一個公共點，且AF垂直于x軸，
設(shè)A點的縱坐標(biāo)大于0，
∴|AF|=2，
∴A（1，2），
∵點A在雙曲線上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1$，
∵c=1，b²=c²-a²，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$，
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的問題，屬于中檔題．