Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$，其前n項和為T_n，求證：${T_n}＜\frac{3}{16}$．

Answer 1

分析 （1）n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{2n•2（n+2）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”與“放縮法”即可得出．

解答 （1）解：n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n，
經(jīng)檢驗n=1時成立，
綜上可得：a_n=2n．
（2）證明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{2n•2（n+2）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=$\frac{1}{8}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{8}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{1}{8}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{16}$．
∴${T_n}＜\frac{3}{16}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、“裂項求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．