Question

18．已知x滿足2（log_0.5²x）+7log_0.5x+3≤0，求函數(shù)y=log₂$\frac{x}{4}$log₄$\frac{x}{2}$的最值．

Answer 1

分析 設(shè)log_0.5x=t，由條件求得 2≤x≤8，求出0≤log₂$\frac{x}{4}$≤2，-1≤log₂$\frac{x}{2}$≤1，問題得以解決．

解答 解：設(shè)log_0.5x=t，
∵2（log_0.5²x）+7log_0.5x+3≤0，
∴2t²+7t+3≤0，
即（2t+1）（t+3）≤0，
解得-3≤t≤-$\frac{1}{2}$，
∴-3≤log_0.5x≤-$\frac{1}{2}$，
∴2≤x≤8．
∴0≤log₂$\frac{x}{4}$≤2，-1≤log₂$\frac{x}{2}$≤1，
∴-2≤log₂$\frac{x}{4}$log₄$\frac{x}{2}$≤2，
故y=log₂$\frac{x}{4}$log₄$\frac{x}{2}$的最大值為2，最小值為-2．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的值域，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．