Question

10．已知：x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}}+\sqrt{\frac{a}}$）（a＞0，b＞0），求$\frac{2b\sqrt{{x}^{2}-1}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$的值．

Answer 1

分析 x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}}+\sqrt{\frac{a}}$）（a＞0，b＞0），可得x²-1=$\frac{1}{4}（\sqrt{\frac{a}}-\sqrt{\frac{a}}）^{2}$，對a，b分類討論即可得出．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}}+\sqrt{\frac{a}}$）（a＞0，b＞0），
∴x²-1=$\frac{1}{4}（\sqrt{\frac{a}}+\sqrt{\frac{a}}）^{2}$-1=$\frac{1}{4}（\sqrt{\frac{a}}-\sqrt{\frac{a}}）^{2}$，
①當(dāng)a≥b＞0時(shí)，$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}}-\sqrt{\frac{a}}）$，x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{a}}$，
∴$\frac{2b\sqrt{{x}^{2}-1}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$2b\sqrt{{x}^{2}-1}$$（x+\sqrt{{x}^{2}-1}）$=2b×$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}}-\sqrt{\frac{a}}）$×$\sqrt{\frac{a}}$=b$（\frac{a}-1）$=a-b．
②當(dāng)0＜a＜b時(shí)，$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}}-\sqrt{\frac{a}}）$，x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{a}}$．
∴$\frac{2b\sqrt{{x}^{2}-1}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$2b\sqrt{{x}^{2}-1}$$（x+\sqrt{{x}^{2}-1}）$=2b×$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}}-\sqrt{\frac{a}}）$×$\sqrt{\frac{a}}$=$\frac{^{2}-ab}{a}$．

點(diǎn)評 本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式，考查了分類討論方法、變形能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．