Question

1．已知$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=9$．
（Ⅰ）求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（Ⅱ）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$及向量$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將已知等式展開轉(zhuǎn)化為兩個向量的模壓機(jī)數(shù)量積的計算問題，利用數(shù)量積公式求θ；
（Ⅱ）根據(jù)投影的定義，利用數(shù)量積公式解答．

解答 解：（Ⅰ）因為$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=9$．
所以$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow=9$，即16-8cosθ-3=9，
所以cosθ=$\frac{1}{2}$，
因為θ∈[0，π]，
所以$θ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos\frac{π}{3}=1$，
所以$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=5，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}=\sqrt{7}$，
所以向量$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影為：$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}=\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用求向量的夾角以及一個向量在另一個向量的投影；關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式以及幾何意義．