Question

11．已知$|\overrightarrow a|=2|\overrightarrow b|，|\overrightarrow b|≠0$，且關(guān)于x的函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow bx$在R上有極值，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角范圍為（　　）

• A． $[0，\frac{π}{6}）$
• B． $（\frac{π}{6}，π]$
• C． $（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$
• D． $（\frac{π}{3}，π]$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)在實(shí)數(shù)上有極值求出導(dǎo)函數(shù)，使得導(dǎo)函數(shù)等于零有解，即一元二次方程有解，判別式大于零，得到 $\overrightarrow$的模與兩向量數(shù)夾角余弦值的不等關(guān)系，求出角的范圍．

解答 解：因?yàn)?|\overrightarrow a|=2|\overrightarrow b|，|\overrightarrow b|≠0$，且關(guān)于x的函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow bx$=$\frac{1}{3}{x}^{3}+|\overrightarrow|{x}^{2}+2|\overrightarrow{|}^{2}cosθ•x$在R上有極值，
所以f'（x）=x²+2|$\overrightarrow|$x+2|$\overrightarrow$|²cosθ=0在R上有不等實(shí)根，所以判別式△=4|$\overrightarrow$|²-8|$\overrightarrow$|²cosθ＞0，所以cosθ＜$\frac{1}{2}$，所以θ∈（$\frac{π}{3}$，π]；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值與數(shù)量積結(jié)合的問(wèn)題；關(guān)鍵是由函數(shù)有極值得到關(guān)于向量的夾角的不等關(guān)系，屬于中檔題．